Exemple de z/nz

Les notations de quotient Z/nZ, Z/(n) et Z/n sont des alternatives souvent utilisées. Pour chaque entier positif n, le sous-ensemble des entiers modulo n qui sont relativement premiers à n, avec l`opération de multiplication, forme un groupe fini qui pour de nombreuses valeurs de n est à nouveau cyclique. Autrement, il se compose d`un ensemble d`éléments avec une seule opération associative inversible, et il contient un élément g tel que chaque autre élément du groupe peut être obtenu en appliquant à plusieurs reprises l`opération de groupe ou son inverse à g. Les groupes électrogènes ne sont pas uniques; e. ses éléments sont les unités de la bague Z/nZ; Il y a φ (n) d`entre eux, où φ est la fonction de indicatrice. Nous convenons qu`ils sont certainement isomorphes, maintenant nous voulons décider si elles sont égales. Par conséquent, (Z/1 Z) × ≅ C 1 {displaystyle (mathbb {Z}/1 , mathbb {Z}) ^ {times} cong mathrm {C} _ {1}} est le groupe trivial avec φ (1) = 1 élément. Ceux-ci sont en fait les seuls, de sorte que le sous-groupe {1,8} est le sous-groupe de faux témoins. Chaque groupe cyclique fini est isomorphe à un groupe Z/(n), où n est l`ordre du groupe. Pour 341, le sous-groupe des témoins faux contient 100 résidus et est donc de l`indice 3 à l`intérieur de l`élément 300 du groupe multiplicatif mod 341.

En d`autres termes, λ (n) {displaystyle lambda (n)} est le plus petit nombre tel que pour chaque un premiers entre eux à n, un λ (n) = 1 (mod n) {displaystyle a ^ {lambda (n)} equiv 1 {pmod {n}}} détient. Ainsi e. Inversement, étant donné un champ fini F et un groupe cyclique fini G, il y a une extension de champ finie de F dont le groupe Galois est G. Par exemple, nous prenons n = 20. Le nom ”cyclique” peut être trompeur: [2] il est possible de générer infiniment de nombreux éléments et de ne pas former de cycles littéraux; c`est-à-dire que chaque GN est distinct. Une nème racine d`unité peut être considéré comme un nombre complexe dont la nième puissance est 1. Tous les sous-groupes finis d`un groupe cycliquement ordonné sont cycliques. L`ensemble des symétries rotationnelles d`un polygone forme un groupe cyclique fini. Dans un certain sens, l`objet quotient a ”plus d`informations pour garder une trace de” (dans $ Bbb Z/5 BBB Z $, par exemple, on doit effectuer un calcul (simple) mental pour résoudre $7 + 5 BBB Z $ à $2 + 5 BBB Z $), alors que l`image homomorphe a jeté l`excédent de bagages. Les puissances de 19 sont {± 1} et les puissances de 3 sont {3, 9, 7, 1}. Chaque groupe abélien ou groupe nilpotent est polycyclique. Il a trouvé des applications dans la cryptographie, la factorisation d`entiers et le test de primalité.

Les groupes cycliques Zn, n ° d`ordre, est un seul cycle représenté simplement comme un polygone n-face avec les éléments aux sommets. On pourrait dire, à cause du petit théorème de Fermat, que ces résidus sont des «faux positifs» ou des «faux témoins» pour la primalité de n. Pour chaque entier positif n, l`ensemble des entiers modulo n, à nouveau avec le fonctionnement de l`addition, forme un groupe cyclique fini, le groupe Z/(n). Un élément g est un générateur de ce groupe si g est relativement premier à n (parce que ces éléments peuvent générer tous les autres éléments du groupe par multiplication d`entiers). Pour chaque puissance de prime impaire p k {displaystyle p ^ {k}} le facteur correspondant (Z/p k Z) × {displaystyle (mathbb {Z}/{p ^ {k}} mathbb {Z}) ^ {times}} est le groupe cyclique de l`ordre φ (p k) = p k − p k − 1 {displaystyle Phi (p ^ {k}) = p ^ {k}-p ^ {k-1}} , qui peuvent encore être factoriser en groupes cycliques d`ordres de puissance primaire.